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Beckham y la oportunidad del suplente

PRIMERA PARTE

Los Angeles Galaxy y San Jose Earthquakes se enfrentan en un partido de liga de la Western Conference norteamericana.

vs.

Faltan 5 minutos para que acabe el partido, y Jack McBean, suplente de Los Angeles Galaxy, le pide a Bruce Arena, entrenador del equipo, jugar los últimos minutos del encuentro.

Bruce no está muy convencido de hacer ningún cambio, pero ante la insistencia del chico, decide darle la oportunidad de jugar los últimos minutos del encuentro, siempre que averigüe a cuál de los tres jugadores ha decidido sustituir: David Beckham, Juninho o Landon Donovan. Los tres jugadores han jugado igual de bien, y están igual de cansados.

Jack contesta que cree que Bruce va a sustituir a Beckham, ante lo cual Bruce Arena le dice que Juninho no va a ser el jugador sustituido, y le ofrece la posibilidad de cambiar la elección de Beckham por Donovan, pero el joven Jack decide mantener su elección inicial, ya que piensa que Bruce Arena le está tendiendo una trampa para que no juegue.

¿Habrá hecho bien manteniendo su primera opción? ¿Llegará a salir Jack McBean al terreno de juego?

Pasa a la segunda parte para conocer la solución

SEGUNDA PARTE

A pesar de que, aparentemente, tras el descarte de Juninho, parece que existe una probabilidad del 50% de que el jugador elegido por Bruce Arena para abandonar el terreno de juego sea Beckham, en realidad Jack McBean cuenta tan solo con una probabilidad de 1/3 de jugar el partido.

Supongamos que desde un principio, el entrenador le hubiera propuesto a Jack elegir qué jugador iba a ser sustituido entre los 10 jugadores de campo (eliminamos al portero). La posibilidad de que fuese el elegido por Jack sería de 1/10. Y de que fuese cualquiera de los otros 9, de 9/10. Así, al principio, todos ellos cuentan con una probabilidad del 10% de ser los elegidos: un 1/10 para el escogido inicialmente, y 9/10 para el conjunto de los otros 9 jugadores:

1/10 para el jugador elegido A + (1/10 para el jugador B + 1/10 para el jugador C + 1/10 para el jugador D + 1/10 para el jugador E + ...)

Conforme vamos eliminando jugadores de este grupo, lo que hacemos es modificar el porcentaje que les corresponde a cada uno de esos 9/10 de probabilidad. Así, cuando quedan sólo 3 jugadores, más el que hemos elegido, las probabilidades serían:

1/10 para el jugador elegido A + (3/10 para el jugador B + 3/10 para el jugador C + 3/10 para el jugador D)

Y cuando sólo quedan 2 opciones tenemos:

1/10 para el jugador elegido A + (9/10 para el jugador B)

De esta manera, cuando el entrenador elimina al resto de jugadores, el jugador que queda 'hereda' las probabilidades de todos los jugadores eliminados, de tal forma que él sólo tendría un 9/10 de probabilidades de ser el elegido.

Trasladando esto al ejemplo que nos ocupa, hay 1/3 de posibilidades de que el jugador a sustituir sea Beckham, y 2/3 de que sean uno de los otros dos jugadores {Juninho y Donovan}. Si nos hacen elegir entre estas dos opciones, ¿Cuál escogeríamos? ¿Eligiríamos a Beckham, que tiene 1/3 de probabilidad, o al conjunto de {Juninho y Donovan}, que tiene 2/3? Evidentemente, si nos dieran a elegir entre estas dos opciones, tomaríamos la del conjunto de {Juninho y Donovan}.

1/3	^---2/3---^

Cuando el entrenador dice que Juninho no es el jugador a sustituir, esto no modifica las probabilidades entre Beckham (1/3) y el conjunto de {Juninho y Donovan} (2/3), sino que lo que hace es modificar las probabilidades dentro de este último conjunto. {Juninho y Donovan} en conjunto siguen teniendo 2/3 de probabilidades, de las que a Juninho le corresponden el 0% y a Donovan el 100% de las mismas, 'heredando' éste los 2/3 de probabilidad iniciales del grupo.

1/3	^---2/3---^

De hecho, todos sabíamos que uno de los jugadores 'no elegidos' no iba a ser cambiado. Da lo mismo que sea uno u otro. Esta información no nos aporta nada nuevo.

Así es que habría sido mejor que Jackhubiese cambiado de idea tras el descarte de Juninho, y hubiese dicho que el jugador a sustituir iba a ser Donovan.

Este problema es conocido como el problema de Monty Hall. Su nombre hace referencia al presentador del famoso concurso televisivo estadounidense 'Let's make a deal' (Hagamos un trato). En este tipo de concursos, en los que se ofrece un buen premio entre 3 posibles elecciones, y según lo explicado, conviene siempre cambiar la elección realizada, una vez que el presentador del concurso descarta una de las opciones, mostrando que tras ella había un premio 'secundario'.

Desde un punto de vista matemático, y teniendo que:
A = el evento en que el concursante escoge la opción premiada al principio
A' = el concursante escoge una opción fallida al principio
B = el concursante acierta manteniendo su elección inicial
B' = el concursante acierta cambiando su elección inicial
P(A) = probabilidad de que se dé el suceso A
P(A') = probabilidad de que se dé el suceso A'
P(B/A) = probabilidad de acertar manteniendo la elección inicial, si se acertó al principio
P(B'/A') = probabilidad de acertar cambiando la elección inicial, si se falló al principio

Y aplicamos el teorema de Probabilidad Total, tenemos que:

P(B) = P(B/A) x P(A) = 1 x 1/3 = 1/3
P(B') = P(B'/A') x P(A') = 1 x 2/3 = 2/3
Ya que, en este caso:

P(A) = 1/3
P(A') = 1-1/3 = 2/3
P(B/A) = 1; P(B/A') = 0
P(B/A') = 0; P(B'/A') = 1

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