La prodigiosa memoria de Van Bommel
PRIMERA PARTE
El PSV Eindhoven está realizando el viaje de regreso del partido que ha disputado la tarde anterior contra el Feyenoord.
Después de dormir en Róterdam, han salido a las 10:00 de la mañana con destino a Eindhoven.
En un determinado momento, Mark Van Bommel, que presume de tener una extraordinaria memoria, dice lo siguiente: 'Ayer pasamos por este lugar justo a esta misma hora'.
Sus compañeros no acaban de creerle, pero ante su insistencia, deciden comprobar si tiene razón. Para ello, llaman al Club de Aficionados del PSV de la ciudad de Breda, que les esperaba al lado del la carretera para saludarles tanto en el viaje de ida como en el de vuelta, para ver si sabían a qué hora habían pasado los dos días.
Y efectivamente, los aficionados les confirman que tanto el sábado como el domingo cruzaron Breda a las 10:57 horas.
Los compañeros de Van Bommel insisten en que ha acertado de casualidad, y le proponen una apuesta, sobre si será capaz de hacer lo mismo en todos los desplazamientos de este año de la liga holandesa (Eredivisie).
Sabiendo que Van Bommel tiene una excelente memoria, capaz de recordar sin problemas lugares y horas, y que el autobús del PSV siempre inicia sus trayectos de ida a las 10:00 de la mañana, duermen en la ciudad del partido, e inician el viaje de vuelta también a las 10:00 de la mañana del día siguiente, ¿crees que Van Bommel debería aceptar la apuesta?
O, dicho de otro modo, ¿crees que en todos los partidos habrá un lugar por el que pase el autobús a la misma hora tanto a la ida como a la vuelta?
Pasa a la segunda parte para conocer la solución
SEGUNDA PARTE
A priori, no parece que el autobús necesariamente tenga que pasar por un mismo punto y a una misma hora en los viajes de ida y vuelta, a pesar de que salgan en ambos casos a la misma hora.
De hecho, hay numerosos factores que influyen en el recorrido del mismo: unas veces irá más rápido, otras irá más lento, habrá días que tenga que parar a repostar combustible, otras veces parará para hacer un descanso, algún día incluso puede que se pinche algún neumático, o que se encuentre con una caravana de coches, o con un atasco por un accidente...
Por tanto, no parece intuitivo que exista un punto del camino donde el autobús pase, el primer día de ida, y el segundo de vuelta, exactamente a la misma hora.
Y sin embargo, sí sucederá en todos y cada uno de los desplazamientos, como veremos a continuación. Si pretendemos abordar este problema de una forma directa, nos encontraremos con múltiples dificultades. Por tanto, en este caso conviene estudiar el problema desde otro ángulo, desde el cual el problema resulta verdaderamente sencillo.
Para ello, vamos a pensar en dos autobuses que parten a la misma hora, uno desde Eindhoven y otro desde Róterdam. Esta visión no afecta a las condiciones del problema, ni tampoco a la hora en la que pasarán por cada punto del recorrido. De esta manera podemos ver claramente que habrá un momento el que necesariamente los dos autobuses se encontrarán en algún punto del recorrido, esto es, pasarán los dos autobuses a la misma hora por ese lugar.
Y esto sucederá en todas las ocasiones, unas veces el sitio estará más cerca del origen, y otras veces más cerca del destino, unas ocasiones será más pronto, y otras será más tarde. Pero siempre se cruzarán en el camino.
Pues esto es lo que ocurre con el autobús del PSV, sólo que se trata de un único autobús, y que viaja en días distintos. Pero en todos los viajes de vuelta habrá un lugar por el que el autobús pasó el día anterior a la misma hora.
Por tanto, Mark Van Bommel hará muy bien en aprovechar su extraordinaria memoria para ganarles la apuesta a sus compañeros de equipo.
Un análisis más académico de este problema nos lleva a resolverlo utilizando el teorema del valor intermedio. Este teorema nos indica que si una función f es continua en un intervalo cerrado no vacío [a, b] perteneciente a R, y k es un número real comprendido entre los valores f(a) y f(b), entonces existe al menos un punto interior c del intervalo [a, b] en el que f(c)=k. De la misma manera, si f y g son funciones continuas en el intervalo [a, b] y se verifica que g(a)>f(a) y f(b)>g(b), entonces existe un número c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f(c) = g(c).
Podemos resolverlo de una manera aún más elegante a través del teorema de Bolzano, que es un caso particular del teorema del valor intermedio, y que indica que si f es una función continua en el intervalo [a, b] y f(a)·f(b) < 0, entonces existe un número real c perteneciente al intervalo (a,b) tal que f(c) = 0. Y si tenemos dos funciones continuas f(x) y g(x) sobre un intervalo no vacío [a, b] de R, tales que g(a)>f(a) y f(b)>g(b) y definimos h(x) = f(x) - g(x), siempre existe un número real c perteneciente a (a, b) tal que h(c) = 0.
En este caso, definimos f(x) a la función que nos indica el punto kilométrico de la carretera en el que se encuentra el autobús en el momento x del viaje de ida, tomando Eindhoven como el km. 0 y Róterdam como el km. 110. Así, si el autobús llega a Róterdam en el momento x1, tenemos definida f(x) en el intervalo [0,x1], donde f(0) = 0 y f(x1) = 110.
También definimos g(x) como la función que nos indica el punto kilométrico de la carretera en el que se encuentra el autobús en el momento x del viaje de regreso, tomando igualmente Róterdam como el km. 110 y Eindhoven como el km. 0. Así, si el autobús llega a Eindhoven en el momento x2, tenemos definida g(x) en el intervalo [0,x2], donde g(0) = 110 y g(x2) = 0.
Si ahora establecemos la función h(x) = f(x) - g(x) dentro del intervalo [0, min(x1,x2)], vemos que se cumplen las condiciones del teorema de Bolzano, por lo que necesariamente existirá un momento c de tal forma que h(c) = 0, o lo que es lo mismo, f(c) = g(c).
De esta forma queda demostrado que, en los viajes de ida y de regreso, siempre habrá un punto kilométrico f(c) por el que el autobús pasará en el mismo momento c. Por tanto, Van Bommel siempre tendrá la oportunidad de acertar la apuesta, y dada su extraordinaria memoria, sin duda lo hará.
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