La difícil decisión de Caballero
PRIMERA PARTE
Mauro Caballero se enfrenta a una difícil decisión. Quiere jugar el año que viene en la Serie A brasileña, y hay 2 clubes interesados en su contratación: el Botafogo y el Palmeiras. A Mauro le gustan los dos equipos por igual.
Ambos clubes quieren una respuesta rápida, ya que necesitan incorporar un delantero a sus equipos de forma urgente. Las condiciones de ambos contratos serán exactamente iguales, excepto en el importe de la ficha anual del jugador.
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El problema es el siguiente. El Botafogo le hará la oferta este viernes, y quiere la contestación en el mismo día. Sin embargo, el Palmeiras le hará llegar su oferta el domingo, sin saber qué decisión ha tomado el jugador sobre la oferta que le haya realizado el Botafogo.
Así que Caballero deberá decidir el viernes por quién va a fichar, sin conocer si la oferta del Palmeiras será mejor o peor que la del Botafogo.
Aparentemente, cualquiera que sea la decisión que tome Caballero, cuenta con un 50% de probabilidad de acertar en su decisión, y un 50% de equivocarse.
Veamos cuáles son los casos posibles que se pueden dar:
1. Acepta la oferta del Botafogo, y la oferta del Palmeiras es inferior.
2. Rechaza la oferta del Botafogo, y la oferta del Palmeiras es inferior.
3. Acepta la oferta del Botafogo, y la oferta del Palmeiras es superior.
4. Rechaza la oferta del Botafogo, y la oferta del Palmeiras es superior.
Como podemos comprobar, Mauro acierta con su decisión en 2 de los 4 casos que se pueden dar (1 y 4), y se equivoca en los otros 2 (2 y 3).
Descartamos el caso (5), que se produciría si las ofertas del Botafogo y del Palmeiras son iguales, ya que la posibilidad de que ocurra es muy pequeña, y además, sea cual sea su elección, podemos decir que Caballero siempre acierta, ya que le da igual fichar por un club que por otro.
Si no hay ninguna manera de saber por anticipado la oferta que realizará el Palmeiras, ¿crees que hay alguna forma de incrementar la probabilidad de que Caballero acierte en su decisión?
Pasa a la segunda parte para conocer la solución
SEGUNDA PARTE
Como ya hemos visto, la probabilidad de que Caballero acierte en su elección es del 50%. Aparentemente, no parece que pueda seguir ninguna estrategia para incrementar dicho porcentaje de éxito. Y sin embargo, sí la hay. Veamos de qué forma:
En este caso, la solución es de lo más racional, y viene dada por lo que normalmente nos aconsejarían nuestros padres o amigos: lo primero que deberá hacer Caballero es pensar cuánto quiere cobrar las próximas temporadas. Y a partir de ahí, podrá tomar su decisión de una forma más acertada, también desde el punto de vista matemático.
Así, si la oferta que le hace el Botafogo el viernes es superior a sus pretensiones, la aceptará, y si es inferior, la rechazará y fichará por el Palmeiras.
Vamos a ver ahora qué casos posibles se pueden presentar:
- Si el Botafogo le hace una oferta superior a sus pretensiones, y él la acepta:
1. El domingo el Palmeiras le ofrece más dinero que el Botafogo.
2. El Palmeiras le ofrece menos que el Botafogo, pero más que sus pretensiones.
3. El Palmeiras le ofrece menos que el Botafogo, y menos que sus pretensiones.
- Si el Botafogo le hace una oferta inferior a sus expectativas, y él la rechaza:
4. El domingo el Palmeiras le ofrece menos dinero que el Botafogo.
5. El Palmeiras le ofrece más que el Botafogo, pero menos que sus expectativas.
6. El Palmeiras le ofrece más que el Botafogo, y más que sus expectativas.
De esta manera, podemos comprobar que Caballero acertará en 4 de los 6 casos (2, 3, 5 y 6), y se equivocará en solo 2 de ellos (1 y 4).
(Aquí prescindimos también del caso en el que las ofertas sean iguales, pues ya vimos que era un caso muy improbable y que además beneficiaba a Caballero fuese cual fuese su elección)
Con esta estrategia, por tanto, aumentamos las probabilidades de acierto de 2/4 a 4/6.
Así es que Caballero le bastará con reflexionar sobre qué importe quiere cobrar, y actuar en consecuencia, para conseguir una probabilidad de acierto superior.
Vamos a verlo desde el punto de vista matemático.
Tenemos las 2 ofertas, una de superior importe que la otra, a las que vamos a llamar 'A' y 'a' ('A' la mayor, 'a' la menor). Y tenemos las pretensiones económicas de Mauro Caballero, que vamos a llamar 'F'.
Los únicos posibles casos que se pueden dar, sabiendo que A>a, son los siguientes:
1) A > a > F
2) A > F > a
3) F > A > a
4) A = a
Como hemos dicho, Mauro Caballero aceptará la oferta del Botafogo si es superior a la cifra que desea percibir.
En el primer caso (1), como ambas ofertas son superiores a las expectativas de Caballero, éste escogerá la primera oferta, y fichará por el Botafogo, por lo que se equivocará un 50% de las veces (unas veces la oferta mayor 'A' será la del Botafogo, y otras veces será la del Palmeiras).
En el segundo caso (2), cuando una oferta sea superior a las expectativas de Caballero, y la otra inferior, Mauro siempre acertará, ya que si la oferta del Botafogo es la 'A' aceptará la oferta, y si es la 'a', la rechazará y aceptará la oferta 'A' del Palmeiras.
En el tercer caso (3), ambas ofertas son inferiores a las expectativas de Caballero, por lo que éste no escogerá la primera, y fichará por el Palmeiras, equivocándose el 50% de las veces (al igual que en el primer caso, unas veces la oferta mayor 'A' será la del Botafogo, y otras veces será la del Palmeiras).
En el último caso (4), ambas ofertas son iguales, y como a Caballero le da lo mismo fichar por un equipo que por otro, podemos decir que acierta siempre, sea cual sea su elección).
Si denominamos:
P(C1) = probabilidad de que ambas ofertas superen las expectativas de Caballero, esto es, que A>a>F (caso 1)
P(C2) = probabilidad de que las expectativas de Caballero se hallen entre ambas ofertas, esto es, que A>F>a (caso 2)
P(C3) = probabilidad de que ambas ofertas sean inferiores a las pretensiones de Caballero, o sea, F>A>a (caso 3)
P(C4) = probabilidad de que ambas ofertas sean iguales, independientemente de que sean superiores o inferiores a las pretensiones de Caballero, o sea, A=a (caso 4)
Como necesariamente alguno de los 4 casos se tiene que dar, tenemos que:
Si ahora llamamos P(x) a la probabilidad de acierto total, tendremos que será igual a la suma de probabilidades de acierto en cada uno de los 4 casos posibles:
Como ya hemos visto, en los casos C1 y C3 la probabilidad de acertar es del 50%, y los casos C2 y C4 acertamos siempre, el 100% de las veces:
Dado que alguna probabilidad de que las pretensiones de Caballero se encuentren entre ambas ofertas, esto es, como P(C2) es siempre mayor que cero, y como la probabilidad de que ambas ofertas sean iguales P(C4) también es mayor que cero, entonces la probabilidad global P(x) de acertar siempre será mayor que 1/2:
Concluimos, por tanto, que con esta estrategia Mauro Caballero mejorará sus posibilidades de obtener un contrato más favorable.
Este problema consistente en elegir el número más alto entre dos números ocultos, que descubrimos de uno en uno, es una paradoja en la que, a diferencia de otras, el resultado más favorable se obtiene aplicando el sentido común y resolviendo el problema de la forma en que habitualmente nos enfrentamos a este tipo de situaciones (o al menos, de la forma en que deberíamos enfrentarnos a ellas).
Cuando aumentamos el número de opciones entre las que tenemos que escoger, debemos acudir entonces a la teoría de la parada óptima, que consiste en determinar cuál es el momento oportuno para tomar una decisión, de tal forma que maximicemos el beneficio, estableciendo una regla óptima de parada. Este tipo de problemas los encontramos en áreas como la estadística, las finanzas y la bolsa, etc., así como en nuestra vida diaria. Se trata de decisiones en las que hemos aceptar una oferta en un momento dado, sin posibilidad de marcha atrás (no podemos retomar ofertas pasadas) y no sabemos qué ofertas vamos a tener en un futuro.
La teoría de la parada óptima, desarrollada entre otros por Franz Thomas Bruss, de la Universidad Libre de Bruselas, quien halló la ley 1/e de la mejor opción, puede ser utilizada en la práctica para resolver muchas situaciones que se nos presentan cada día, como aceptar una oferta de trabajo o esperar las siguientes, comprar una determinada vivienda o seguir viendo más viviendas, vender unas acciones en un momento determinado o ver cómo evolucionan en los siguientes días...
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