Mesut Özil i el punt de Fermat
PRIMERA PART
El partit de lliga entre el Real Madrid i el F.C. Barcelona es disputarà d'aquí a pocs dies.
 |
vs. |  |
José Mourinho vol reduir els espais al centre del camp, per defensar-se´n de la millor manera possible dels migcampistes del Barça.
Per això, vol disposar al seu jugadors de la següent manera:
Xabi Alonso jugarà al centre del camp. Di María jugarà per la banda dreta, 40 m. per davant de Xabi Alonso, i a 30 m. del centre del camp. També 40 m. per davant d'Alonso, però a la banda esquerra, i allunyat igualment 30 m. del centre del camp, jugarà Cristiano Ronaldo.
I en una posició intermèdia entre Xabi Alonso i la línia de Di María i Cristiano, i al centre del camp, jugarà Mesut Özil.
Mourinho vol que la distància entre Özil i els altres 3 jugadors sigui mínima, per així poder realitzar una millor pressió contra la sortida de la pilota del Barça i cobrir millor els espais.
Per això, la posició exacta d'Özil serà aquella en què la suma de les distàncies entre Özil i els altres 3 jugadors sigui la mínima possible.
Ets capaç d'esbrinar en quin punt exacte cal col·locar Özil?
Passa a la segona part per a conèixer la solució
SEGONA PART
Hi han persones que hauran pensat que Özil s'ha de col·locar sobre la línia que uneix Cristiano Ronaldo i Di María. Altres persones contestaran que s'ha de col·locar al baricentre (intersecció de les mitjanes o centre de gravetat) del triangle isòsceles format pels altres 3 jugadors. Altres pensaran que s'ha de situar al circumcentre (centre de la circumferència circumscrita, que passa pels tres vèrtexs del triangle), a l'incentre (centre de la circumferència inscrita, tangent als costats del triangle), o fins i tot a l'ortocentre (punt d'intersecció de les altures).
Però cap d'aquestes solucions és correcta. El resultat l'haurem de trobar d'una altra manera. Ara veurem de quina forma:
Tenim a Alonso (A), Cristiano (C) i Di María (D) situats al camp de la següent forma:
Situem ara Özil (Ö) en un punt qualsevol de l'altura del triangle, ja que segons les instrucciones de Mourinho, deu ser davant d'Alonso i al centre del camp:
La nostra missió és aconseguir que la suma de les distàncies als altres 3 jugadors sigui mínima, és a dir, que la suma dels segments ÖA + ÖC + ÖD sigui mínima.
Per això, girarem el triangle ACD 60º sobre Di María, en el sentit contrari a les agulles del rellotge:
Ens hi fixem ara en aquests dos triangles: A'Ö'D' i ÖAD. Podem comprovar que ÖA mesura el mateix que A'Ö', ja que els dos triangles són idèntics, llevat que girats 60º
Ara ens centrarem en el triangle DÖ'Ö. Sabems que l'angle α és igual a 60º, i que DÖ i DÖ' medeixen igual. Per tant, DÖ'Ö necessariament ha d'èsser un triangle equilàter, del que es deriva que DÖ i Ö'Ö mesuren el mateix.
Amb tot el que hem vist, tenim ja resolt el problema. Sabem que ÖA = A'Ö' i que DÖ = Ö'Ö. Per tant, la suma de les distàncies entre Özil i els seus 3 companys és igual a: ÖA + ÖD + ÖC = A'Ö' + Ö'Ö + ÖC.
Anem a veure a què es correspon aquesta suma al nostre gràfic:
Efectivament, es tracta de la longitud del camí entre A' i C.
I el que volem és que aquesta distància sigui la mínima possible. Per això, apliquem el conegut axioma de que 'el camí més curt entre dos punts és la línia recta'.
Així que si el que volem és que el camí entre A' i C sigui el més curt possible, haurem de ficar Özil en la recta que uneix ambdòs punts. D'aquesta manera, quan girem el triangle 60º, els camins A'Ö' + Ö'Ö + OC i A'C es superposaran.
I com sabem que Özil deu ser al centre del camp, és a dir, sobre l'altura del triangle ADC, l'haurem de situar just al punt al que es creua l'altura amb la recta A'C.
En el cas de que Özil puguès situar-s'hi en qualsevol punt dins del triangle format pels altres 3 jugadors, però no necessàriament al centre del camp, hauriem d'utilitzar el mateix procediment que hem realitzat fins ara. D'aquesta manera sabriem que Özil ha de situar-se damunt de la recta A'C, i per a determinar el punt exacte, procedirem de forma anàloga, això és, girarem la figura 60º, aquest cop sobre Cristiano Ronaldo i en el sentit de les agulles del rellotge. I obtindrem així una nova recta entre D i A'', que minimitza el camí entre els dos extrems. I el punt al que es creuen ambdues rectes seria en aquest cas el que estàvem buscant.
D'aquesta manera haurem trobat el punt exacte on Mourinho vol que Özil es situï dins del terreny de joc, per tal de contrarestar el joc dels migcampistes del FC Barcelona.
Ho veurem ara des d'un altre punt de vista més quantitatiu.
Tenim el triangle isòsceles ADC, i la seva altura AB. Sabem que Özil es situarà al centre del camp, per davant de Xabi Alonso, és a dir, en el segment AB.
Si anomenem x a la distància entre Özil i el punt B, Özil estarà a una distància 40-x de Xabi Alonso.
La nostra missió és aconseguir d'esbrinar en quin punt tenim que la distància ÖA + ÖD + ÖC és mínima.
Sabem que ÖA és igual a (40-x), i que BD és igual a 30.
Segons el teorema de Pitàgores, sabem que:
I també coneixem que ÖC = ÖD
Amb aquestes dades establim la funció f(x) que ens calcula la suma dels 3 segments en funció d'on situem Özil
Volem trobar x tal que f(x) sigui mínima. Això serà quan la funció derivada d'x sigui igual a 0, és a dir, quan f'(x) = 0.
Així obtenim: 
Podem comprovar que aquest punt es correspon amb el punt des del qual es veuen els 3 costats sota un angle de 120º.
I igualment podem comprovar que la situació d'aquest punt no depèn de la distància a la que es trobi Xabi Alonso. El punt serà el mateix si està a 40 m. de la línia CD que uneix Cristiano i Di María que si hi és només a 20 m. Només depèn de la separació entre aquests 2 jugadors (CD = 2 BD), ja que:
El punt on s'ha de situar Özil s'anomena punt de Fermat (també anomenat punt de Torricelli). Constitueix el primer punt notable del triangle que es va trobar després de l'época d'Euclides.
Deu el seu nom al matemàtic francès del segle XVII Pierre de Fermat qui va plantejar el següent problema al científic italià Evangelista Torricelli (1608 - 1647), descobridor de la pressió atmosfèrica: 'Donat un triangle acutangle ABC construir un punt P tal que la suma de les distàncies del punt als 3 vèrtexs A, B, C sigui mínima'.
Hi ha qui diu que no va ser Torricelli qui va resoldre el problema, sinò un deixeble seu anomenat Vicenzo Viviani, qui va publicar la solució en el seu nom, en 1659. I altres atribueixen el plantejament i la solució del mateix a Jakob Steiner (1796-1863). A més, hi ha hagut nombrosos matemàtics que se han encarregat d'estuidar aquest problema, com Hofmann, mitjançant la seva demostració gràfica de 1929, o Alfred Weber, qui el 1909 va estudiar el càlcul de la localització òptima des del punt de vista econòmic de manera que sigui mínima la suma ponderada de les distàncies des d'un lloc a un conjunt de punts donats, o Simpson (1710-1761), amb la seva demostració geomètrica, o Varignon i la seva màquina.
La primera solució que proposem en aquest cas es correspon amb la publicada per Joseph Ehrenfried Hofmann el 1929, encara que també va ser descoberta de forma independent per Tibor Gallai entre d'altres.
La segona solució només és vàlida per triangles isòsceles, i suposant que el punt P estarà a l'altura del triangle.
En tot cas, aquest punt de Fermat aparentment intrascendent cobra una importància significativa en diversos camps de les ciències. Així, quan volem construir una carretera que connecti 3 o més ciutats, aplicarem aquest teorema per trobar el traçat ideal. O quan una empresa amb tres centres de producció vol establir una seu central en una localització òptima per minimitzar els costos de transport. O quan volem trobar el centroide o centre d'un conjunt de masses. O per al diseny òptim de circuits elèctricos i xarxes de telecomunicacions.
I si aumentem el nombre de punts entre els quals volem optimitzar la seva connexió, ens trobem amb el problema de l'arbre de Steiner, que és un problema d'optimització combinatòria consistent en buscar la interconnexió més curta per a un conjunt d'elements donat. El punt de Fermat dóna una solució al problema general de la mitjana geomètrica, quan el nombre de punts en el pla és igual a 2, i al problema de l'arbre de Steiner per a 3 punts.
Si has arribat fins aquí, i desitges fer-nos qualsevol comentari sobre aquest tema, pots enviar-nos un correu amb el següent enllaç: contact@matifutbol.com . Agraïm enormement la teva col·laboració, ja que els teus comentaris són molt útils per poder millorar la nostra pàgina.
Si t'ha agradat la nostra endevinança, pots compartir-la al facebook o al twitter .
I si a més vols informar-te'n de les nostres noves publicacions, pots seguir-nos als nostres perfils al facebook, al twitter, o per RSS
Regressa a la primera part
Torna a la Classificació si vols veure més trencaclosques.
