La prodigiosa memòria de Van Bommel
PRIMERA PART
El PSV Eindhoven està realitzant el viatge de tornada del partit que ha jugat la darrera tarda contra el Feyenoord.
Després de dormir a Róterdam, han sortit a les 10:00 del matí amb destinació Eindhoven.
En un determinat moment, Mark Van Bommel, que presumeix de tenir una extraordinària memòria, diu això: 'Ahir vam passar per aquest lloc tot just a aquesta mateixa hora'.
Els seus companys no acaben de creure'l, pero davant la seva insistència, decideixen comprovar si té raó. Per allò, truquen a la Penya del PSV de la ciutat de Breda, que els hi esperava al costat de la carretera para saludar-los tant al viatge d'anada com al de tornada, per veure si sabien a quina hora havien passat els dos dies.
I efectivament, els aficionats els hi confirmen que tant el dissabte como el diumenge van creuar Breda a les 10:57 hores.
Els companys de Van Bommel insisteixen en creure que ha tingut molta sort, i li proposen una aposta, sobre si serà capaç de fer el mateix en tots els desplaçaments d'aquest any de la lliga holandesa (Eredivisie).
Sabent que Van Bommel té una excel·lent memòria, capaç de recordar sense cap problema llocs i hores, i que l'autobús del PSV sempre inicia els seus viatges d'anada a les 10:00 del matí, dormen a la ciutat del partit, i inicien el viatge de tornada també a les 10:00 del matí del dia següent, creus que Van Bommel hauria d'acceptar l'aposta?
O, dit d'una altra manera, creus que a tots els partits hi haurà un lloc pel què passi l'autobús a la mateixa hora tant a l'anada com a la tornada?
Passa a la segona part per a conèixer la solució
SEGONA PART
A priori, no sembla que l'autobús necessàriament hagi de que passar per un mateix punt i a una mateixa hora als viatges d'anada i tornada, malgrat que en ambdòs casos surtin a la mateixa hora.
De fet, hi han nombrosos factors que influeixen en el recorregut de l'autobús: uns cops anirà més ràpid, uns altres més lent, hi hauràn dies que hagi de parar per a repostar combustible, altres vegades pararà per a fer un descans, algun dia fins i tot pot ser punxi algun pneumàtic, o que es trobi amb una caravana de cotxes, o amb un embús per un accident...
Per tant, no sembla gaire intuïtiu que existeixi un punt del camí per on l'autobús passi, el primer dia d'anada, i el segon de tornada, exactament a la mateixa hora.
I no obstant això, sí hi passarà a tots i casdascun dels desplaçaments, com veurem més endavant. Si pretenem resoldre aquest problema d'una forma directa, ens hi trobarem amb múltiples dificultats. Per tant, en aquest cas convé estudiar el problema des d'altre angle, des del qual el problema és veritablement senzill.
Per això, podem pensar en dos autobusos que parteixen a la misma hora, un des d'Eindhoven i l'altre des de Rotterdam. Aquest plantejament no afecta a les condicions del problema, ni tampoc a l'hora a la que passaran per cada punt del recorregut. D'aquesta manera podem veure clarament que hi haurà un moment en el què necessàriament els dos autobusos es trobaran en algun punt del trajecte, és a dir, passaran els dos autobusos a la mateixa hora per aqueix lloc.
I aixó succeirà en totes les ocasions, unes vegades el lloc quedarà més a prop de l'origen, i altres vegadas més a prop de la destinació, uns cops serà més aviat, i uns altres serà més tard. Però sempre es creuran al seu camí.
Doncs aixó és el que passa amb el autobus del PSV, només que es tracta d'un únic autobus, i què viatja en dies diferents. Però en tots el viatges de tornada hi haurà un lloc per on l'autobus va passar el dia anterior a la mateixa hora.
Per tant, Mark Van Bommel farà molt bé en aprofitar la seva extraordinària memòria per guanyar-los-hi l'aposta als seus companys d'equip.
Una anàlisi més acadèmica d'aquest problema ens porta a resoldre'l utilitzant el teorema del valor intermedi. Aquest teorema ens indica que si una funció f és contínua en un interval tancat no buit [a, b] pertanyent a R, i k és un nombre real comprés entre els valors f(a) i f(b), llavors existeix almenys un punt interior c de l'interval [a, b] en el qual f(c)=k. De la mateixa forma, en el cas de que tinguem dues funcións f i g contínues en l'interval [a, b], i es verifica que g(a)>f(a) i f(b)>g(b), que existirà un nombre c pertanyent a l'interval (a, b) tal que f(c) = g(c).
Podem resoldre'l de una manera encara més elegant mitjançant el teorema de Bolzano, que és un cas particular del teorema del valor intermedi, i que indica que si f és una funció contínua en l'interval [a, b] i f(a)·f(b) < 0, llavors existeix un nombre real c pertanyent a l'interval (a,b) tal que f(c) = 0. I si tenim dues funcions contínues f(x) i g(x) sobre un interval no buit [a, b] de R, tals que f(a)<g(a) i f(b)>g(b) i definim h(x) = f(x) - g(x), sempre existirà un nombre real c pertanyent a (a, b) tal que h(c) = 0.
En aquest cas, definim com a f(x) la funció que ens indica el punt quilomètric de la carretera on es troba l'autobus en el moment x del viatge d'anada, prenent Eindhoven como al km. 0 i Rotterdam como al km. 110. Així, si l'autobus arriva a Rotterdam en el momento x1, tenim definida f(x) en l'interval [0,x1], on f(0) = 0 i f(x1) = 110.
També definim com a g(x) la funció que ens indica el punt quilomètric de la carretera on es troba l'autobus en el moment x del viatge de tornada, prenent igualment Rotterdam como al km. 110 class="unidas" i Eindhoven como al km. 0 class="unidas". Així, si l'autobus arriva a Eindhoven en el moment x2, tenim definida g(x) en l'interval [0,x2], on g(0) = 110 i g(x2) = 0.
Si ara establim la funció h(x) = f(x) - g(x) dins l'interval [0, min(x1,x2)], veiem que es compleixen les condicions del teorema de Bolzano, pel qual necessàriament existirà un moment c de manera que h(c) = 0, o tant se val, f(c) = g(c).
D'aquesta manera queda demostrat que als viatges d'anada i tornada, sempre hi haurà un punt quilomètric f(c) pel qual l'autobus passarà en el mateix moment c. Per tant, Van Bommel sempre tindrà l'oportunitat d'encertar l'aposta, i donada la seva extraordinària memòria, sens dubte que ho farà.
Si has arribat fins aquí, i desitges fer-nos qualsevol comentari sobre aquest tema, pots enviar-nos un correu amb el següent enllaç: contact@matifutbol.com . Agraïm enormement la teva col·laboració, ja que els teus comentaris són molt útils per poder millorar la nostra pàgina.
Si t'ha agradat la nostra endevinança, pots compartir-la al facebook o al twitter .
I si a més vols informar-te'n de les nostres noves publicacions, pots seguir-nos als nostres perfils al facebook i al twitter
Regressa a la primera part
Torna a la Classificació si vols veure més trencaclosques.
