¿Te atreves a contar? Un problema de ida y vuelta
PRIMERA PARTE
Inglaterra y Brasil van a disputar un partido amistoso. Faltan pocos minutos para que comience el partido, y los jugadores de ambos equipos están calentando en el terreno de juego.
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Los jugadores ingleses están corriendo de banda a banda, según las instrucciones que les ha dado el preparador físico, y que son las siguientes:
- Cada segundo le da salida a un jugador desde la banda.
- Deben recorrer la distancia hasta la otra banda en 10 segundos, a un ritmo constante, siguiendo al jugador precedente.
- Una vez que llegue a la otra banda, y sin detenerse, darán la media vuelta y volverán a la banda de origen, al mismo ritmo constante que en la ida (10 segundos), y al llegar a la banda se retirarán a los vestuarios.
Wayne Rooney es el último jugador que queda por salir. Justo en el momento en que el preparador físico le da la salida, llega a la banda Peter Crouch.
¿Puedes calcular cuántos jugadores se cruzará Rooney en el camino hasta llegar a la otra banda?
Pasa a la segunda parte para conocer la solución
SEGUNDA PARTE
Algunas personas contestan que Rooney se cruzará con 10 jugadores: si tarda 10 segundos en llegar a la otra banda, y ha salido un jugador cada segundo, hacemos la división y obtenemos un resultado de 10 jugadores.
Otras personas hacen el mismo razonamiento, pero a los 10 jugadores que hemos calculado le suman uno más, correspondiente a Peter Crouch, con quien se cruza en el segundo 0:00. Así que sostienen que Rooney se cruzará con 11 jugadores. Y otro grupo de personas contestan que él se cruzará con un número mayor o menor de jugadores.
Veamos quién tiene razón.
La segunda opción (11 jugadores) es incorrecta, ya que cuando llegue en el segundo 10 Rooney no coincidirá con nadie en la otra banda, esto es, se cruzará con jugadores los segundos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, pero no en el segundo 10, ya que el jugador precedente hará un segundo que dio la vuelta.
Por lo que, en un principio, el primer razonamiento parece correcto. Contamos el tiempo (10 segundos), contamos la frecuencia de salida (1 jugador/segundo) y obtenemos el resultado:
Y esto sería correcto si Rooney permaneciese quieto en la banda. Pero aquí debemos tener en cuenta un tercer factor que hemos olvidado: que Rooney se está desplazando durante esos 10 segundos.
Esto quiere decir que Rooney no va a cruzarse con un jugador cada segundo de su recorrido, sino que como ambos se están desplazando el uno hacia el otro, recorrerán la distancia que les separa en la mitad del tiempo (0,5 segundos) para encontrase en la mitad de dicha distancia. Así, Rooney se cruzará con:
Veámoslo de otra forma:
Cuando Rooney salga en último lugar, habrá 10 compañeros suyos viajando en su mismo sentido hacia la banda contraria, y otros 10 compañeros regresando desde la otra banda.
Por tanto, cuando Rooney llegue a la otra banda, necesariamente se habrá cruzado con todos ellos, los 10 que ya están regresando, y los 10 que ahora están viajando en su mismo sentido, pero que conforme vaya transcurriendo el tiempo, se los irá encontrando de frente regresando a la banda inicial.
También podemos resolver el problema de una forma gráfica, dibujando la posición de cada jugador respecto de la banda inicial en cada momento de su carrera. Como podéis ver en el gráfico de abajo, el recorrido de Rooney se cruza con el recorrido de 20 compañeros (incluyendo a Crouch, con el que se cruza en el segundo 0:00).
Este es un nuevo ejercicio de razonamiento lógico, en el que nuestro cerebro se centra en las variables numéricas (10 segundos, 1 jugador/segundo) y desprecia otras variables fundamentales aparentemente no-numéricas: la velocidad y la dirección del desplazamiento de Rooney.
Se trata de una versión futbolística del problema matemático inicialmente expuesto por Charles-Ange Laisant sobre los navíos que se cruzaban en el trayecto entre Le Havre y Nueva York, y editado posteriormente por el escritor brasileño de matemáticas recreativas Malba Tahan.
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