Cumpleaños olímpicos 2012
PRIMERA PARTE
Jacques Rogge ha decidido regalar en cada partido, durante la disputa de la competición de fútbol masculino de los Juegos Olímpicos de Londres 2012, unas medallas conmemorativas a aquellos jugadores titulares de las dos selecciones que disputen cada partido y que celebren su cumpleaños el mismo día del año.
Por ejemplo, si en un partido hay 2 jugadores titulares (sean del mismo equipo o de equipos contrarios) que cumplen los años el 23 de febrero, el COI les regalará una medalla a cada uno de ellos.
En las Olimpiadas 2012 se disputarán un total de 32 partidos, por lo que la COI ha estimado que comprando 10 medallas tendrán suficientes para regalar a aquellos futbolistas que cumplan dicho requisito. Esto es, piensan que en unos 5 partidos se producirá tal circunstancia.
¿Crees que les sobrarán medallas, habrá suficientes, o tendrán que comprar más?
Pasa a la segunda parte para conocer la solución
SEGUNDA PARTE
Probablemente tu respuesta se corresponderá con la que intuitivamente suele dar la mayor parte de la gente: si dividimos los 22 cumpleaños de los jugadores que integran las alineaciones titulares entre los 365 días del año, tenemos una cifra de 0,06027, Esto significa que los cumpleaños de todos los jugadores suponen sólo un 6,027% del total de días del año.
Así que debemos esperar que haya una probabilidad de un 6,027% de que 2 jugadores coincidan en su cumpleaños. Si aplicamos este porcentaje a los partidos que se disputan, tenemos que el 6% de 32 partidos es igual a 1,92 partidos. Es decir, que en aproximadamente dos partidos tendremos una pareja de jugadores que cumplirán años el mismo día del año, y por tanto necesitaremos tan solo 4 medallas para entregar durante los Juegos Olímpicos.
Y como ya habrás adivinado, la respuesta correcta es muy distinta de la que consideramos como 'lógica'. Para la resolución del problema planteado, primero deberemos averiguar cuál es la probabilidad de que en un partido coincidan en el campo de fútbol dos jugadores que cumplen años el mismo día. Para ello, resultará más sencillo averiguar cuál es la probabilidad de que no haya ninguna pareja de jugadores que cumplan años el mismo día.
Empecemos con 2 jugadores. El segundo jugador podrá cumplir los años cualquiera de los 364 días restantes del año distintos del día en que cumple años el primero de ellos. Por tanto, los casos favorables son todos los días del año excepto el del cumpleaños de la primera persona (364); y los casos posibles son todos los días del año (365). Así, la probabilidad de que no celebren el cumpleaños el mismo día será de:
Tomemos un tercer jugador. Contando con que los dos primeros no coinciden en su cumpleaños, ahora tenemos disponibles 363 días en los cuales el tercer jugador puede cumplir años sin coincidir con los otros dos jugadores: esto es, una probabilidad de 363/365 sobre la probabilidad de 364/365 de que los dos primeros no coincidan. O lo que es lo mismo, una probabilidad de:
Sigamos cogiendo jugadores. Para el cuarto, la probabilidad de no coincidir con los otros tres será de 362/365. Y la conjunta de que no coincidan los 4, será de:
Si continuamos con este procedimiento hasta el último de los 22 jugadores que han salido al terreno de juego, la probabilidad de no coincidir con los otros 21 es de 343/365. Y la conjunta de que todos ellos no coincidan entre sí será de:
Sorprendentemente, el resultado es de un 52,43%. Así que podríamos decir que, de forma contraria, en un 47,57% de los partidos, algún jugador sí cumplirá los años el mismo día que otro, o lo que es lo mismo, en un 47,57% de los partidos se dará la paradoja de que hay una pareja de jugadores que celebran su cumpleaños en la misma fecha, contrariamente a lo que nos dicta nuestra intuición.
Y como en los Juegos Olímpicos 2012 de Londres se van a celebrar 32 partidos, el 47,57% de 32 partidos es igual a 15,22, así es que en aproximadamente 15 partidos veremos en las alineaciones iniciales dos jugadores que nacieron el mismo día, por lo que vamos a necesitar nada menos que 30 medallas.
Por lo que Jacques Rogge debería ir corriendo a la joyería para encargar más medallas, ya que las 10 previstas son insuficientes para todas las que van a tener que entregar.
La cuestión es que normalmente tendemos a imaginar la probabilidad de que, partiendo de un jugador concreto, haya otro cuyo cumpleaños coincida con el suyo (ver imagen de abajo). Pensamos que 22 días (los cumpleaños de los 22 jugadores) es una fracción pequeña respecto al posible número de días distintos (365) como para esperar que se repitan los cumpleaños. Así, la probabilidad con 22 jugadores la estimamos muy baja (22/365).
La clave del tema es que hay multitud de posibles parejas que pueden formarse conforme vamos aumentando el número de personas del grupo. Concretamente, con 22 jugadores se pueden formar 231 parejas distintas de jugadores (ver imagen de abajo). Por eso la probabilidad acaba siendo tan alta en un grupo tan pequeño.
De esta forma, y aplicando las fórmulas matemáticas que describimos más adelante, obtenemos para los 22 titulares ( n = 22 ) una probabilidad de 0,475695 (un 47,57%).
Si añadimos al árbitro ( n = 23 ) ya pasamos del 50%, exactamente una probabilidad del 50,73%.
Con los 2 jueces de línea ( n = 25 ) la probabilidad asciende al 56,87%.
Y si sumamos los 12 suplentes de cada equipo, los 2 jueces de área, el cuarto árbitro, y los otros 5 jugadores de cada selección no convocados para el partido ( n = 52 ) alcanzamos una probabilidad del 97,80%. ¡Un 97,80% con sólo 51 personas!
Esto es lo que se conoce como paradoja del cumpleaños, la cual establece que si hay 23 personas reunidas, hay una probabilidad del 50,73% de que al menos dos de ellas cumplan años el mismo día, y para 57 o más personas la probabilidad es mayor del 99%.
En realidad, no se trata de una paradoja, ya que no implica ninguna contradicción lógica; es una paradoja en el sentido de que la realidad matemática contradice a la intuición. Mucha gente piensa que la probabilidad es mucho más baja, y que hacen falta muchas más personas para que se alcance la probabilidad del 50%.
Por último, destacar que si bien en todo este procedimiento hemos obviado a los nacidos un 29 de febrero,
también es cierto que no hemos tenido en cuenta la posibilidad de que en alguna selección jueguen unos hermanos gemelos, o de que los seleccionadores podrían estar condicionados por el tema de la entrega de las medallas para hacer salir como titulares a unos jugadores en vez de a otros, o que todas las fechas son equiprobables, esto es, que la distribución de los cumpleaños es uniforme a lo largo de todo el año.
Así, por ejemplo, y como podéis comprobar en la tabla de al lado, hay fechas en las que se concentran los cumpleaños, y fechas en los que no nace casi nadie, por lo que las probabilidades de que dos personas cumplan años el mismo día son mayores que 1/365. Así es que ¡aún habría que comprar más medallas!
En términos matemáticos, todo esto viene dado por las siguientes fórmulas. Para n personas tales que:
Tenemos que la probabilidad p de que sus cumpleaños no coincidan el mismo día la obtenemos con la siguiente fórmula:
Si usamos factoriales, nos queda la siguiente expresión:
Siendo ésta es la probabilidad de que no haya dos personas cuyos cumpleaños coincidan, la probabilidad de que al menos haya una pareja que celebren el cumpleaños el mismo día, es decir, la probabilidad de que en un conjunto de personas haya dos que cumplan los años el mismo día del año es:
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