Inici

Versión española English version

Cerca a Matifutbol:

Anem a regalar pilotes de futbol

PRIMERA PART

Manca poc temps per que finalitzi de la Copa del Món de Futbol de Brasil 2014.

Els organitzadors del Campionat estan pensant regalar-hi unes pilotes oficials del Mundial als habitants de Rio de Janeiro.

Per això, volen omplir l'estadi de Maracanà de pilotes de futbol fins a la coberta, i repartir-les el dia abans de la cerimònia de cloenda a tots i cada un dels habitants de la ciutat.

Regalaran totes les pilotes, excepte la darrera capa de pilotes que cobreix el terreny de joc. Aquestes les hi destinaran a repartir-les entre tots els assistents a la cerimònia de cloenda.

El problema és que no saben si n'hi haurà prou de pilotes, primer, per repartir-ne entre els habitants de Rio de Janeiro (població de 11.835.708 persones) i, segon, per regalar-ne als assistents a la final (aforament de 82.238 espectadors).

Creus que cabran les suficients pilotes a l'estadi?

Passa a la SEGONA PART per a conèixer la solució.

SEGONA PART

Per resoldre el problema, el primer que hem de conèixer són les dimensions de l'estadi i les mesures d'una pilota de futbol.

L'estadi de Maracanà presumeix de ser un dels estadis més grans del món. El terreny de joc, després de la darrera reforma efectuada, és un rectangle de 105 metres de llarg per 68 metres d'ample. Així que tenim un àrea rectangular de 105 x 68 = 7.140 m².

Ara volem conèixer la superfície que cobreix una pilota de futbol. Les mesures oficials aprovades per la FIFA són: 21,65 - 22,29 cm. de diàmetre. Utilitzarem pels nostres càlculs un valor intermedi de 22 cm. de diàmetre (11 cm. de ràdio).

Per saber quantes pilotes cabran dins del terreny de joc, no podem dividir simplement la superfície del camp de futbol entre la superfície que cobreix una pilota, ja que les pilotes no ocupen tota la superfície, ja que queden buits entre elles.

Volem, per tant, optimitzar l'espai ocupat per les pilotes, col·locant-les de manera que càpiquen el major nombre possible d'aquestes dins del terreny de joc. Respecte a aquest tema, han estat nombrosos els estudis que s'han realitzat, arribant a la conclusió de que la major densitat d'empaquetament possible (la major proporció de superfície cuberta per cercles de la mateixa mida) és del 90,69%, que és quan les pilotes adopten una distribució de tipus hexagonal.

Així que calcularem l'àrea coberta per una pilota,

dividirem la superfície total (7.140 m²) entre l'àrea ocupada per una pilota (0,038019 m²), i li aplicarem el coeficient de densitat (90,69%). Així obtenim una xifra de 170.342 pilotes.

En aquest cas, no tan sols contem amb prou pilotes per regalar als assistents al partit, sinó que podem regalar 2 pilotes a cada un d'ells.

Ara anem amb el problema de si hi haurà prou pilotes per repartir entre tots els habitants de Rio de Janeiro, si omplim l'estadi.

Per resoldre aquest problema necessitarem 3 dades: el volum d'una pilota, la capacitat de l'estadi, i el coeficient màxim de densitat d'empaquetament, és a dir, el màxim percentatge d'ocupació de l'espai que es pot aconseguir optimizant la col·locació d'unes esferes de la mateixa mida.

Anem amb la primera dada, el volum d'una pilota. Anteriorment hem establert per als nostres càlculs que el diàmetre de la pilota és de 22 cm. Així que, utilitzant la fòrmula pel volum d'una esfera, obtenim que cada pilota té un volum de 0,005575 m³.

Ara anem-hi amb les dimensions de l'estadi de Maracanà. Sabem que tant la base de l'estadi como la coberta tenen forma d'el·lipse.

L'el·lipse corresponent a la superfície del camp de futbol més la resta de terreny al voltant del mateix té una diagonal major d'uns 160 metres i una diagonal menor d'uns 125 metres. Pel qual la superfície total és de 15.707,96 m².

D'altra banda, tenim que l'alçada màxima de l'estadi serà d'uns 32 metres.

I sabem que l'estadi s'eixampla a poc a poc segons pugem d'alçada, de manera que la coberta de l'estadi té també forma d'el·lipse, amb una diagonal major d'uns 320 metres i una diagonal menor d'aproximadament 250 metres.

Amb totes aquestes dades, obtenim que l'àrea de la coberta és de 62.831,85 m²:

El cos geomètric al qual correspon el volum de l'estadi de Maracanà s'anomena tronc el·líptic truncat invertit. Per calcular el seu volum, només caldran uns minuts de recerca a internet fins que trobem la següent fórmula:

L'hi apliquem les nostres dades, i obtenim que el volum a omplir amb les pilotes serà de 1.172.861 m³ (no tenim en compte els espais ocupats per porteries i altres objectes, ja que no tenen excessiva rellevància sobre aquest càlcul).

I com al cas anterior, sabem que per calcular quantes pilotes cabran, no podem dividir simplement el volum del camp de futbol entre el volum d'una pilota, ja que les pilotes no ocupen tot l'espai, sinò que resten buits entre elles.

Així, optimitzant l'espai ocupat per les pilotes, col·locant-les de manera que càpiguen el major nombre possible de pilotes, tenim que, segons els estudis realitzats sobre aquest tema, la major densitat d'empaquetament possible (el major percentatge d'espai ocupat per unes esferes de la mateixa mida) és del 74,084 %. És a dir, que optimitzant al màxim la seva col·locació, les pilotes ocuparan un 74% del volum de l'estadi.

En aquest cas, tindrem dos opcions per col·locar les pilotes: l'empaquetament compacte hexagonal, i l'empaquetament compacte cúbic. Tots dos mètodes donen la mateixa densitat d'empaquetament, i es corresponen amb les dues disposicions que pots veure a la dreta.

Tornant al tema que ens ocupa, ja podem saber quantes pilotes cabran a Maracanà. Tenim el volum total de l'estadi, el dividim entre el volum d'una pilota, i l'apliquem el coeficient de densitat d'empaquetament, obtenint un total de 155.773.506 pilotes:

I si a aquesta xifra li restem les pilotes que anem a regalar a la cerimònia de cloenda, tenim un total de 155.603.164 pilotes. Per tant, els organitzadors no solament podran regalar una pilota a tots els carioques (11.835.708), sinò que podran donar una pilota a gran part dels brasilers (192.376.496 habitants).

D'aquesta manera, comprovem que les dimensions de l'estadi són prou grans per complir amb els desitjos dels organitzadors del Campionat. Una altra cosa és si l'organització del Mundial pot afrontar les despeses derivades de la compra de 155.773.506 pilotes, el seu transport, la seva col·locació a l'estadi, la seva posterior distribució entre la població...

Com anècdota, podem dir que, per exemple, les despeses derivades només de la compra de pilotes (a 20 €/pilota) serien de 3.058.030.589,24 €.

I pel que fa als temes organitzatius, tenim que ens caldran 13.032 camions de 90 m³ (els de major capacitat) per transportar totes les pilotes a l'estadi. I que amb 250 persones traient aquestes pilotes dels camions, i altres 250 persones col·locant-les dins de l'estadi d'una manera òptima (el perímetre exterior és d'uns 800 m.), a raó de 5 segons per pilota, i treballant durant les 24 hores, es trigarien més de 36 dies en omplir l'estadi de pilotes.

O que els esmentats camions, d'uns 18 m. de llarg, posats en filera un darrera l'altre, formarien una caravana de 234 km. de llarg. O que totes les pilotes pesarien un total de 66.982.607,78 kg (no sé pas si la gespa de l'estadi quedaria apte per l'activitat esportiva després d'aquesta operació). I així podeu seguir realitzant tots els càlculs que se us acudeixin...

En aquesta història tractem de l'empaquetament compacte de cercles i esferes. Es tracta d'un dels temes matemàtics amb més aplicacions pràctiques a la vida real, i d'una trascendència logística i econòmica important.

La teoria del empaquetament compacte d'objectes en espais de n dimensions va ser ja tractada per Johannes Kepler, amb la seva famosa 'conjectura de Kepler', en la qual establia que l'empaquetament hexagonal era la forma més òptima d'omplir un espai amb esferes. Aquesta teoria va ser així mateix complementada pels estudis de Carl Friedrich Gauss, pel cas de maximitzar l'ocupació d'una superfície amb cercles.

Finalment, ressenyar aquí la trobada amb un cos geomètric no molt habitual, el con el·líptic, que ens permet prendre contacte amb els estudis d'Heró d'Alexandria i la seva 'mitjana heroniana', que ens permet calcular el volumen d'aquest sòlid.

Si has arribat fins aquí, i desitges fer-nos qualsevol comentari sobre aquest tema, pots enviar-nos un correu amb el següent enllaç: contact@matifutbol.com . Agraïm enormement la teva col·laboració, ja que els teus comentaris són molt útils per poder millorar la nostra pàgina.

Si t'ha agradat la nostra endevinança, pots compartir-la al facebook o al twitter .

I si a més vols informar-te'n de les nostres noves publicacions, pots seguir-nos als nostres perfils al facebook, al twitter, o per RSS

Regressa a la primera part

Torna a la pàgina principal si vols veure més trencaclosques.